Формула Коши-Адамара

**Формулировка:**
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ и $A = \overline{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{1}n]{|a_n|}$.
Тогда радиус сходимости $R$ ряда вычисляется по формуле:
$$ R = \dfrac{1}{A} $$
где:
- $R = +\infty$ если $A = 0$,
- $R = 0$ если $A = +\infty$.

Д-во:
$1) R \leq \dfrac{1}{A}$
Пусть $R > 0,$ тогда:
$\forall{r}~~0 < r < R \Rightarrow \sum a_{n}r^{n}~-$ сходится $\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $a_{n}r^{n} \to 0 \Rightarrow \exists{M}\mathpunct{:}~~|a_{n}r^{n}| \leq M \Rightarrow \sqrt[n]{|a_{n}|}~r \leq \sqrt[n]{|M|} \Rightarrow$
$\Rightarrow \overline{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|a_{n}|}~r \leq \overline{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|M|} = 1 \Rightarrow r \leq \dfrac{1}{A}$
Так как $R = \sup_{r < R} r \Rightarrow R \leq \dfrac{1}{A}$
$2) R \geq \dfrac{1}{A}$
Пусть $R~-$ фиксированное число
$\exists{r}~~r > R~~~\sum a_{n}r^{n}~-$ расходится (по 1 т. Абеля) $\Rightarrow$
$\overline{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|a_{n}r^{n}|} \geq 1$ (кр. Коши)
$r~\overline{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|a_{n}|} \geq 1$
$r \geq \dfrac{1}{A} \Rightarrow R = \inf_{r > R} r \geq \dfrac{1}{A}$

---

Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда (ИИ)

**Формулировка:**
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ и $A = \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{1}n]{|a_n|}$.
Тогда радиус сходимости $R$ ряда определяется как:
$$ R = \dfrac{1}{A} $$
(с $R = +\infty$ при $A = 0$ и $R = 0$ при $A = +\infty$).

**Д-во:**
**
1. Докажем $R \leq \dfrac{1}{A}$:**
- Пусть $R > 0$ (при $R = 0$ неравенство очевидно).
- По определению $R$, для любого $r \in (0, R)$ ряд $\sum a_n r^n$ сходится.
- Из сходимости следует: $a_n r^n \to 0$ $\implies \exists M > 0$ такое, что $\forall n \, |a_n r^n| \leq M$.
- Преобразуем:
$$ \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{1}n]{|a_n|} \cdot r \leq \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{1}n]{M} $$
- Возьмём верхний предел ($\varlimsup$) обеих частей при $n \to \infty$:
$$ r \cdot \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{1}n]{|a_n|} \leq \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{1}n]{M} = 1 $$
Так как $\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{1}n]{M} \to 1$.
- Получаем $r \cdot A \leq 1$ $\implies r \leq \dfrac{1}{A}$.
- Поскольку $r$ произвольно из $(0, R)$, то $R = \sup\{ r \mid |x|<R \implies \text{сходится} \} \leq \dfrac{1}{A}$.

**
2. Докажем $R \geq \dfrac{1}{A}$:**
- Фиксируем $R$ (из определения радиуса сходимости).
- Для любого $r > R$ (при $r<R$ это не всегда верно), ряд $\sum a_n r^n$ расходится (по определению $R$).
- Применим необходимое условие расходимости (критерий Коши):
$$ \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{1}n]{|a_n r^n|} \geq 1 $$
так как иначе ряд бы сходился.
- Упростим:
$$ \varlimsup_{n \to \infty} \left( r \cdot \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{1}n]{|a_n|} \right) = r \cdot A \geq 1 $$
(по свойствам верхнего предела).
- Отсюда $r \geq \dfrac{1}{A}$.
- Поскольку $r$ произвольно из $(R, +\infty)$, то
$$ R = \inf \{ r \mid |x| \geq r \implies \text{расходится} \} \geq \dfrac{1}{A} $$

**Итог:** Из $R \leq \dfrac{1}{A}$ и $R \geq \dfrac{1}{A}$ следует $R = \dfrac{1}{A}$.
$\square$

**Пояснение ключевых моментов:**
- $\varlimsup\limits_{n \to \infty} b_n = \lim\limits_{n \to \infty} \big( \sup\limits_{k \geq n} b_k \big)$ — верхний предел.
- В пункте 1: $r < R$ гарантирует сходимость ряда $\sum a_n r^n$ по определению радиуса сходимости.
- В пункте 2: $r > R$ гарантирует расходимость ряда.
- Переход к $\varlimsup$ обоснован свойствами верхнего предела и оценками.